公開日 2014/06/21
更新日 2021/12/17
【数学講師必見】数学の授業に生かそう！黄金比の不思議（フィボナッチ数列）
今回はフィボナッチ数列と黄金比の関係を紹介します。そういえば、大学院の試験の過去問に出題されていましたね…面白い関係なのでまめ知識としても是非！
黄金比とは？
近似値は 1:1.618 ≒ 5:8 になります。
最も美しい比と言われています。人工物でも芸術作品や建造物に多く使われていて、名刺の辺の比も黄金比です。
自然界ではオウムガイの螺旋が有名です。
オウムガイは黄金比で作った長方形(黄金長方形)の中に円を描くように形成します。
黄金長方形から短辺を一辺とする正方形を取り除くと、残る部分はまた黄金長方形になります。
フィボナッチ数列とは？
フィボナッチ数というのは，
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…
となる数です。これらの数は，初めに0,1をおいて，最後の数とその前の数をたした数を次の数としています。
0,1
0+1=1
1＋1＝2
2＋1＝3
3＋2＝5
5＋3＝8
イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ（ピサのレオナルド）にちなんで名付けられました。
一般的に定義すると次のようになります。
これは２つの初期条件を持つ漸化式になります。
フィボナッチ数列と黄金比の関係
隣り合うフィボナッチ数の比を考えてみましょう。
1.6ぐらいになることが予測できますね。
ではnを無限に飛ばした時はどうなるでしょうか。
黄金比が出てきましたね。
隣り合うフィボナッチ数列の比はnを＋∞に発散させると黄金比に近づきます。
